曆法 - 天干與地支

在中國的曆法中，我們會使用「天干」和「地支」來為每一年「編號」，並將這個「編號」稱為「干支」。所謂「天干」，就是指：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸等 10 個字，而「地支」就是：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等 12 個字。將一個「天干」和一個「地支」配合，就得到一個年份的「干支」，到了下一年，就使用下一個「天干」和「地支」來表示。例如：由「甲子」開始，之後就是「乙丑」、「丙寅」…… 等等。當「天干」或「地支」用完了，就從新由「甲」或「子」開始。例如：到了「癸酉」，「天干」用完了，「天干」就從頭開始，得「甲戌」，之後就是「乙亥」。這時，「地支」也用完了，所以下一年就是「丙子」。如此類推。

由於「天干」和「地支」都祇有有限個字，所以這種紀年的方式總會有重複。但要經過多少年，才會重複一次呢？

計算方法很簡單，祇要找出 10 和 12 的最小公倍數（LCM）就可以了。（為甚麼？）由於 10 和 12 的 LCM 是 60，所以這種紀年的方式每隔 60 年就會循環一次。

細心的同學應該會發現，如果「天干」和「地支」可以任意地配對的話，那麼我們應該得到 10 ´ 12 = 120 個組合才對，為何現在祇得 60 個呢？

這個問題其實可以引發出一些非常深奧的數學學問，但長話短說，原來這個問題是與 10 和 12 的最大公因數（HCF）有關的。由於 10 和 12 的 HCF 等於 2，它並不等於 1，所以有一些「天干」和「地支」的組合，是不可能出現的。如果要清楚明白這一點，那麼可以將「天干」換成 1 至 10 等 10 個號字，又將「地支」換成 1 至 12，再將每個年份的「干支」轉成一個序偶，例如：將「甲子」轉換成 (1 , 1)、「乙丑」寫成 (2 , 2) 等等。那麼，我們很容易就可以發現，偶序中的兩個數字，必定要同時為雙數，或者同時為單數。故此我們不會見到「乙（2）子（1）」或「壬（9）亥（12）」等「干支」。偶序中，兩個數字同時是雙數或單數，一共祇得 60 對，所以「干支」也祇有 60 個組合。

一個關於「支干」的數學問題是這樣的：我們知道，1984 年的「干支」為「甲子」，那麼我們如何計算出今年（2008年）的「干支」呢？方法很簡單，祇需要用除法求餘數就可以了。由於 2008 - 1984 + 1 = 25，因此由 1984 年數起，今年就是第 25 年了。（為甚麼要“+ 1”呢？）因為 25 ¸ 10 的餘數為 5，「天干」就是「戊」，25 ¸ 12 的餘數是 1，「地支」就是「子」，所以今年就是「戊子」年了。

另一個和「干支」有關的問題則更有趣，不過，我希望大家想一想，所以不在這裏寫出計算方法了。這個問題是：如果知道該年的「干支」，那麼該年應該是西曆的哪一年呢？例如：我出生於「丁巳」年，那麼我今年幾歲呢？